Упр.1040 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) b2, b4, b6, …;
2) b1 + 1, b2 + 1, b3 + 1, …;
3) b1^2, b2^2, b3^2, …;
4) -b1, -b3, -b5, …;
5) b1 + b2, b2 + b3, b3 + b4, …;
6) 1/b1, 1/b2, 1/b3, … .
В случае утвердительного ответа укажите, чему равен знаменатель этой прогрессии.
Пусть $$b_1, b_2, b_3, \ldots$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q \ne 1$$. Тогда
$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$
Рассмотрим каждую последовательность.
$$b_2, b_4, b_6, \ldots$$
$$b_2=b_1q,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_6=b_1q^5,\ldots$$
Отношение соседних членов:
$$\frac{b_4}{b_2}=q^2,\qquad \frac{b_6}{b_4}=q^2.$$
Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2$$.
$$b_1+1,\; b_2+1,\; b_3+1,\ldots$$
В общем случае отношение соседних членов не постоянно, значит, это не геометрическая прогрессия.
$$b_1^2,\; b_2^2,\; b_3^2,\ldots$$
Так как $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$, то
$$b_1^2,\; b_1^2q^2,\; b_1^2q^4,\ldots$$
Следовательно, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2$$.
$$-b_1,\; -b_3,\; -b_5,\ldots$$
Имеем
$$-b_1,\; -b_1q^2,\; -b_1q^4,\ldots$$
Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2$$.
$$b_1+b_2,\; b_2+b_3,\; b_3+b_4,\ldots$$
Запишем члены через $$b_1$$ и $$q$$:
$$b_1(1+q),\; b_1q(1+q),\; b_1q^2(1+q),\ldots$$
Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$.
$$\frac{1}{b_1},\; \frac{1}{b_2},\; \frac{1}{b_3},\ldots$$
Так как $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2$$, получаем
$$\frac{1}{b_1},\; \frac{1}{b_1q},\; \frac{1}{b_1q^2},\ldots$$
Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac{1}{q}$$.
Ответ
1) да, знаменатель $$q^2$$; 2) нет; 3) да, знаменатель $$q^2$$; 4) да, знаменатель $$q^2$$; 5) да, знаменатель $$q$$; 6) да, знаменатель $$\frac{1}{q}$$.
