Упр.104 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Запишите в виде двойного неравенства: 1) $$x=15\pm0,3$$; 2) $$x=\frac{4}{5}\pm\frac{1}{3}$$; 3) $$x=3,8\pm1$$.
2. Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого является любое действительное число, и неравенство, не имеющее решений: 1) $$\frac{x^2+1}{x^2}\geq0$$; 2) $$\frac{x^2+1}{x^2+1}<1$$; 3) $$\frac{x^2-1}{x^2-1}\geq1$$; 4) $$\frac{x^2}{x^2+1}\geq0$$.

1) Запишем число с погрешностью в виде двойного неравенства:

$$15-0{,}3 \le x \le 15+0{,}3$$

$$14{,}7 \le x \le 15{,}3$$

$$\frac45-\frac13 \le x \le \frac45+\frac13$$

$$\frac{12}{15}-\frac{5}{15} \le x \le \frac{12}{15}+\frac{5}{15}$$

$$\frac{7}{15} \le x \le \frac{17}{15}$$

$$3{,}8-1 \le x \le 3{,}8+1$$

$$2{,}8 \le x \le 4{,}8$$

2) Рассмотрим неравенства:

$$\frac{x^2+1}{x^2}\ge 0$$

При $$x\ne 0$$ числитель $$x^2+1>0$$, знаменатель $$x^2>0$$, значит дробь положительна. Следовательно, неравенство верно при всех $$x\ne 0$$.

$$\frac{x^2+1}{x^2+1}<1$$

При всех $$x$$, для которых выражение определено, имеем

$$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$

Поэтому неравенство решений не имеет.

$$\frac{x^2-1}{x^2-1}\ge 1$$

При $$x\ne \pm 1$$ левая часть равна $$1$$, значит неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$.

$$\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, то неравенство верно при всех действительных числах.

Ответ

1) $$14{,}7 \le x \le 15{,}3$$; 2) $$\frac{7}{15} \le x \le \frac{17}{15}$$; 3) $$2{,}8 \le x \le 4{,}8$$.

Любое действительное число является решением неравенства 4).

Не имеет решений неравенство 2).