Упр.1039 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, ес35 ли сумма её крайних членов равна 35/3, а сумма средних равна 10.

Пусть четыре числа геометрической прогрессии: $$b_1,\; b_2,\; b_3,\; b_4,$$ а её знаменатель равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_1+b_4=\frac{35}{3},\qquad b_2+b_3=10.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1(1+q^3)=\frac{35}{3},$$

$$b_1q(1+q)=10.$$

Из второго уравнения выразим $$b_1$$:

$$b_1=\frac{10}{q(1+q)}.$$

Подставим в первое:

$$\frac{10}{q(1+q)}(1+q^3)=\frac{35}{3}.$$

Так как $$1+q^3=(1+q)(1-q+q^2),$$ получаем

$$\frac{10}{q}(1-q+q^2)=\frac{35}{3}.$$

Умножим на $$3q$$:

$$30(1-q+q^2)=35q,$$

$$6q^2-13q+6=0.$$

Найдём корни:

$$D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25,$$

$$q=\frac{13\pm 5}{12}.$$

Отсюда

$$q_1=\frac{3}{2},\qquad q_2=\frac{2}{3}.$$

1) При $$q=\frac{3}{2}$$:

$$b_1=\frac{10}{\frac{3}{2}\left(1+\frac{3}{2}\right)}=\frac{8}{3},$$

$$b_2=\frac{8}{3}\cdot \frac{3}{2}=4,\quad b_3=4\cdot \frac{3}{2}=6,\quad b_4=6\cdot \frac{3}{2}=9.$$

2) При $$q=\frac{2}{3}$$:

$$b_1=\frac{10}{\frac{2}{3}\left(1+\frac{2}{3}\right)}=9,$$

$$b_2=9\cdot \frac{2}{3}=6,\quad b_3=6\cdot \frac{2}{3}=4,\quad b_4=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$$

В обоих случаях получаем одну и ту же четвёрку чисел, только в обратном порядке.

Ответ

$$\frac{8}{3},\; 4,\; 6,\; 9$$