Упр.1036 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Чему равна сумма всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5?

Найдём сумму всех двузначных чисел и вычтем из неё суммы двузначных чисел, кратных $3$ и $5$, затем прибавим сумму чисел, кратных одновременно $3$ и $5$, то есть $15$.

Сумма всех двузначных чисел:

$$ S_{90}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905 $$

Сумма двузначных чисел, кратных $3$:

$$ 12,15,\dots,99 $$

Это арифметическая прогрессия с $a_1=12$, $a_n=99$, $d=3$.

$$ n=\frac{99-12}{3}+1=30 $$

$$ S_{30}=\frac{12+99}{2}\cdot 30=1665 $$

Сумма двузначных чисел, кратных $5$:

$$ 10,15,\dots,95 $$

Это арифметическая прогрессия с $a_1=10$, $a_n=95$, $d=5$.

$$ n=\frac{95-10}{5}+1=18 $$

$$ S_{18}=\frac{10+95}{2}\cdot 18=945 $$

Сумма двузначных чисел, кратных $15$:

$$ 15,30,\dots,90 $$

Это арифметическая прогрессия с $a_1=15$, $a_n=90$, $d=15$.

$$ n=\frac{90-15}{15}+1=6 $$

$$ S_6=\frac{15+90}{2}\cdot 6=315 $$

Тогда искомая сумма равна:

$$ S=S_{90}-S_{30}-S_{18}+S_6 $$

$$ S=4905-1665-945+315=2610 $$

Ответ

2610