Упр.1034 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, а его меньший катет равен а. Найдите площадь треугольника.

Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию:

$$a,\ a+d,\ a+2d,$$

где $$a$$ — меньший катет.

Тогда по теореме Пифагора:

$$ (a+2d)^2=a^2+(a+d)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2 $$

$$ a^2-2ad-3d^2=0 $$

$$ (a+d)(a-3d)=0 $$

Так как длины сторон положительны, то $$a+d>0$$, значит

$$a-3d=0,\quad d=\frac{a}{3}.$$

Тогда второй катет равен

$$ a+d=a+\frac{a}{3}=\frac{4a}{3}. $$

Площадь треугольника:

$$ S=\frac12\cdot a\cdot \frac{4a}{3}=\frac{2a^2}{3}. $$

Ответ

$$\frac{2a^2}{3}$$