Упр.1032 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите количество членов этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии используем формулу суммы первых n членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Из условия:

$$S_3=3,\quad S_4=16,\quad S_n=220.$$

Найдём первый член и разность прогрессии.

Из суммы первых трёх членов:

$$S_3=\frac{3(2a_1+2d)}{2}=3,$$

откуда

$$3(a_1+d)=3,\quad a_1+d=1.$$

Из суммы первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{4(2a_1+3d)}{2}=16,$$

то есть

$$2(2a_1+3d)=16,\quad 2a_1+3d=8.$$

Подставим $a_1=1-d$:

$$2(1-d)+3d=8,$$

$$2-2d+3d=8,$$

$$d=6.$$

Тогда

$$a_1=1-6=-5.$$

Теперь найдём количество членов прогрессии из условия $S_n=220$:

$$220=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Подставим $a_1=-5$, $d=6$:

$$220=\frac{n}{2}\bigl(2\cdot(-5)+6(n-1)\bigr),$$

$$220=\frac{n}{2}( -10+6n-6),$$

$$220=\frac{n}{2}(6n-16),$$

$$440=n(6n-16),$$

$$6n^2-16n-440=0,$$

$$3n^2-8n-220=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-220)=64+2640=2704,$$

$$\sqrt{D}=52.$$

Тогда

$$n=\frac{8\pm 52}{6}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{60}{6}=10,\quad n_2=\frac{-44}{6}=-\frac{22}{3}.$$

Отрицательное значение не подходит, значит, число членов прогрессии равно $10$.

Ответ

10