Упр.1031 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите первый член и разность прогрессии, если:
1) а3 + а5 + а8 = 18 и а2 + а4 = -2;
2) а5 — а3 = -4 и а2 а4 = -3;
3) а2 + а4 + a6 = 36 и а2 а3 = 54;
4) S5 — S2 — а5 = 0,1 и а7 + S4 = 0,1;
5) S4 = 9 и S6 = 22,5.

1. $$a_3+a_5+a_8=18,\quad a_2+a_4=-2$$

   Так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ то

   $$ \begin{aligned} a_3+a_5+a_8&=(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+7d)=18,\\ a_2+a_4&=(a_1+d)+(a_1+3d)=-2. \end{aligned} $$

   $$ \begin{aligned} 3a_1+13d&=18,\\ 2a_1+4d&=-2. \end{aligned} $$

   Умножим второе уравнение на $$3$$:

   $$ 6a_1+12d=-6. $$

   Вычтем его из первого, умноженного на $$2$$:

   $$ \begin{aligned} 6a_1+26d&=36,\\ 6a_1+12d&=-6,\\ 14d&=42,\quad d=3. \end{aligned} $$

   $$ 2a_1+4\cdot 3=-2,\quad 2a_1=-14,\quad a_1=-7. $$

2. $$a_5-a_3=-4,\quad a_2a_4=-3$$

   $$ \begin{aligned} (a_1+4d)-(a_1+2d)&=-4,\\ 2d&=-4,\quad d=-2. \end{aligned} $$

   $$ (a_1+d)(a_1+3d)=-3. $$

   Подставим $$d=-2$$:

   $$ (a_1-2)(a_1-6)=-3. $$

   $$ a_1^2-8a_1+12=-3 $$

   $$ a_1^2-8a_1+15=0 $$

   $$ (a_1-3)(a_1-5)=0. $$

   Значит, $$a_1=3$$ или $$a_1=5$$.

3. $$a_2+a_4+a_6=36,\quad a_2a_3=54$$

   $$ \begin{aligned} (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)&=36,\\ 3a_1+9d&=36,\\ a_1+3d&=12. \end{aligned} $$

   Тогда $$a_1=12-3d$$.

   $$ (a_1+d)(a_1+2d)=54. $$

   Подставим $$a_1=12-3d$$:

   $$ (12-2d)(12-d)=54 $$

   $$ 144-36d+2d^2=54 $$

   $$ d^2-18d+45=0 $$

   $$ (d-3)(d-15)=0. $$

   Следовательно, $$d=3$$ или $$d=15$$.

   При $$d=3$$: $$a_1=12-9=3$$.
   
   При $$d=15$$: $$a_1=12-45=-33$$.

4. $$S_5-S_2-a_5=0{,}1,\quad a_7+S_4=0{,}1$$

   Используем формулу суммы:

   $$ S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr). $$

   $$ S_5-S_2-a_5=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_1+a_2)-a_5=a_3+a_4. $$

   Значит,

   $$ a_3+a_4=0{,}1. $$

   Так как $$a_3=a_1+2d$$ и $$a_4=a_1+3d$$, получаем

   $$ 2a_1+5d=0{,}1. $$

   Далее
   $$ a_7+S_4=(a_1+6d)+\frac{4}{2}(2a_1+3d)=0{,}1, $$

   $$ a_1+6d+4a_1+6d=0{,}1, $$

   $$ 5a_1+12d=0{,}1. $$

   Решим систему:

   $$ \begin{aligned} 2a_1+5d&=0{,}1,\\ 5a_1+12d&=0{,}1. \end{aligned} $$

   Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$2$$:

   $$ \begin{aligned} 10a_1+25d&=0{,}5,\\ 10a_1+24d&=0{,}2. \end{aligned} $$

   $$ d=0{,}3,\quad 2a_1+5\cdot 0{,}3=0{,}1,\quad 2a_1=-1{,}4,\quad a_1=-0{,}7. $$

5. $$S_4=9,\quad S_6=22{,}5$$

   $$ S_4=\frac{4}{2}(2a_1+3d)=9,\quad 4a_1+6d=9, $$

   $$ 2a_1+3d=4{,}5. $$

   $$ S_6=\frac{6}{2}(2a_1+5d)=22{,}5,\quad 6a_1+15d=22{,}5, $$

   $$ 2a_1+5d=7{,}5. $$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$ 2d=3,\quad d=1{,}5. $$

   $$ 2a_1+3\cdot 1{,}5=4{,}5,\quad 2a_1=0,\quad a_1=0. $$

Ответ

1) $$a_1=-7,\ d=3$$;
2) $$a_1=3,\ d=-2$$ или $$a_1=5,\ d=-2$$;
3) $$a_1=3,\ d=3$$ или $$a_1=-33,\ d=15$$;
4) $$a_1=-0{,}7,\ d=0{,}3$$;
5) $$a_1=0,\ d=1{,}5$$.