Упр.1031 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Пусть $$S_n$$ — сумма $$n$$ первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$. Найдите первый член и разность прогрессии, если:

1. $$a_3+a_5+a_8=18$$ и $$a_2+a_4=-2$$;
2. $$a_5-a_3=-4$$ и $$a_2a_4=-3$$;
3. $$a_2+a_4+a_6=36$$ и $$a_2a_3=54$$;
4. $$S_5-S_2-a_5=0{,}1$$ и $$a_7+S_4=0{,}1$$;
5. $$S_4=9$$ и $$S_6=22{,}5$$.

1. $$a_3+a_5+a_8=18,\quad a_2+a_4=-2$$

   Так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ то

   $$\begin{aligned} a_3+a_5+a_8&=(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+7d)=18,\\ a_2+a_4&=(a_1+d)+(a_1+3d)=-2. \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} 3a_1+13d&=18,\\ 2a_1+4d&=-2. \end{aligned}$$

   Умножим второе уравнение на $$3$$:

   $$6a_1+12d=-6.$$

   Вычтем его из первого, умноженного на $$2$$:

   $$\begin{aligned} 6a_1+26d&=36,\\ 6a_1+12d&=-6,\\ 14d&=42,\quad d=3. \end{aligned}$$

   $$2a_1+4\cdot 3=-2,\quad 2a_1=-14,\quad a_1=-7.$$

2. $$a_5-a_3=-4,\quad a_2a_4=-3$$

   $$\begin{aligned} (a_1+4d)-(a_1+2d)&=-4,\\ 2d&=-4,\quad d=-2. \end{aligned}$$

   $$(a_1+d)(a_1+3d)=-3.$$

   Подставим $$d=-2$$:

   $$(a_1-2)(a_1-6)=-3.$$

   $$a_1^2-8a_1+12=-3$$

   $$a_1^2-8a_1+15=0$$

   $$(a_1-3)(a_1-5)=0.$$

   Значит, $$a_1=3$$ или $$a_1=5$$.

3. $$a_2+a_4+a_6=36,\quad a_2a_3=54$$

   $$\begin{aligned} (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)&=36,\\ 3a_1+9d&=36,\\ a_1+3d&=12. \end{aligned}$$

   Тогда $$a_1=12-3d$$.

   $$(a_1+d)(a_1+2d)=54.$$

   Подставим $$a_1=12-3d$$:

   $$(12-2d)(12-d)=54$$

   $$144-36d+2d^2=54$$

   $$d^2-18d+45=0$$

   $$(d-3)(d-15)=0.$$

   Следовательно, $$d=3$$ или $$d=15$$.

   При $$d=3$$: $$a_1=12-9=3$$.
   
   При $$d=15$$: $$a_1=12-45=-33$$.

4. $$S_5-S_2-a_5=0{,}1,\quad a_7+S_4=0{,}1$$

   Используем формулу суммы:

   $$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

   $$S_5-S_2-a_5=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_1+a_2)-a_5=a_3+a_4.$$

   Значит,

   $$a_3+a_4=0{,}1.$$

   Так как $$a_3=a_1+2d$$ и $$a_4=a_1+3d$$, получаем

   $$2a_1+5d=0{,}1.$$

   Далее
   $$a_7+S_4=(a_1+6d)+\frac{4}{2}(2a_1+3d)=0{,}1,$$

   $$a_1+6d+4a_1+6d=0{,}1,$$

   $$5a_1+12d=0{,}1.$$

   Решим систему:

   $$\begin{aligned} 2a_1+5d&=0{,}1,\\ 5a_1+12d&=0{,}1. \end{aligned}$$

   Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$2$$:

   $$\begin{aligned} 10a_1+25d&=0{,}5,\\ 10a_1+24d&=0{,}2. \end{aligned}$$

   $$d=0{,}3,\quad 2a_1+5\cdot 0{,}3=0{,}1,\quad 2a_1=-1{,}4,\quad a_1=-0{,}7.$$

5. $$S_4=9,\quad S_6=22{,}5$$

   $$S_4=\frac{4}{2}(2a_1+3d)=9,\quad 4a_1+6d=9,$$

   $$2a_1+3d=4{,}5.$$

   $$S_6=\frac{6}{2}(2a_1+5d)=22{,}5,\quad 6a_1+15d=22{,}5,$$

   $$2a_1+5d=7{,}5.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$2d=3,\quad d=1{,}5.$$

   $$2a_1+3\cdot 1{,}5=4{,}5,\quad 2a_1=0,\quad a_1=0.$$

Ответ

1) $$a_1=-7,\ d=3$$;
2) $$a_1=3,\ d=-2$$ или $$a_1=5,\ d=-2$$;
3) $$a_1=3,\ d=3$$ или $$a_1=-33,\ d=15$$;
4) $$a_1=-0{,}7,\ d=0{,}3$$;
5) $$a_1=0,\ d=1{,}5$$.