Упр.1030 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Третий член арифметической прогрессии равен 11, а седьмой равен 27. Сколько надо взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равной 253?

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.

Из формулы $$a_n=a_1+d(n-1)$$ получаем:

$$a_3=a_1+2d=11, \qquad a_7=a_1+6d=27.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(a_1+6d)-(a_1+2d)=27-11,$$

$$4d=16,\qquad d=4.$$

Тогда

$$a_1=11-2\cdot 4=3.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим данные:

$$253=\frac{2\cdot 3+4(n-1)}{2}\cdot n.$$

Упростим:

$$253=\frac{6+4n-4}{2}\cdot n=\frac{4n+2}{2}\cdot n=(2n+1)n.$$

Получаем уравнение:

$$2n^2+n-253=0.$$

Найдём корни:

$$D=1-4\cdot 2\cdot(-253)=2025,$$

$$n=\frac{-1\pm 45}{4}.$$

Подходит только положительный корень:

$$n=\frac{44}{4}=11.$$

Ответ

11 членов.