Упр.1029 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) (а — 1)/a, (а — 3)/a, (а — 5)/a, …;
2) (а — b)/(a + b), (За — b)/(a + b), (5а — b)/(a + b), … .

Обе последовательности являются арифметическими прогрессиями, поэтому используем формулу суммы первых n членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

1. $$a_1=\frac{a-1}{a}, \quad a_2=\frac{a-3}{a}$$

   Найдём разность:

   $$d=a_2-a_1=\frac{a-3}{a}-\frac{a-1}{a}=-\frac{2}{a}$$

   Тогда

   $$ S_n=\frac{2\cdot \frac{a-1}{a}-\frac{2}{a}(n-1)}{2}\cdot n =\frac{\frac{2a-2-2n+2}{a}}{2}\cdot n =\frac{2a-2n}{2a}\cdot n =\frac{n(a-n)}{a} $$

2. $$a_1=\frac{a-b}{a+b}, \quad a_2=\frac{3a-b}{a+b}$$

   Найдём разность:

   $$d=a_2-a_1=\frac{3a-b}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2a}{a+b}$$

   Тогда

   $$ S_n=\frac{2\cdot \frac{a-b}{a+b}+\frac{2a}{a+b}(n-1)}{2}\cdot n =\frac{\frac{2a-2b+2an-2a}{a+b}}{2}\cdot n =\frac{2an-2b}{2(a+b)}\cdot n =\frac{n(an-b)}{a+b} $$

Ответ

1) $$S_n=\frac{n(a-n)}{a}$$; 2) $$S_n=\frac{n(an-b)}{a+b}$$.