Упр.1028 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) длины сторон а, b и с треугольника образуют арифметическую прогрессию, то ас = 6Rr, где R и r — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;
2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;
3) длины сторон треугольника с углом 120° образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как 3:5:7.

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, тогда их можно записать так:

$$a,\; b,\; c = a+d,\; a+2d,$$

где $$d$$ — разность прогрессии. Тогда

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

1. Докажем, что $$ac=6Rr$$.

   Используем формулы

   $$R=\frac{abc}{4S}, \qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

   Тогда

   $$ 6Rr=6\cdot \frac{abc}{4S}\cdot \frac{2S}{a+b+c} =\frac{3abc}{a+b+c}. $$

   Так как $$b=\frac{a+c}{2}$$, то

   $$ a+b+c=a+\frac{a+c}{2}+c=\frac{3(a+c)}{2}. $$

   Следовательно,

   $$ 6Rr=\frac{3abc}{\frac{3(a+c)}{2}}=\frac{2abc}{a+c}. $$

   Но из $$b=\frac{a+c}{2}$$ получаем $$a+c=2b$$, значит

   $$ 6Rr=\frac{2abc}{2b}=ac. $$

   Итак, $$ac=6Rr$$.

2. Докажем, что в прямоугольном треугольнике разность арифметической прогрессии равна радиусу вписанной окружности.

   Пусть стороны равны $$a,\; a+d,\; a+2d$$, причём $$a$$ и $$a+d$$ — катеты, а $$a+2d$$ — гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора:

   $$ a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2. $$

   Раскроем скобки:

   $$ a^2+a^2+2ad+d^2=a^2+4ad+4d^2, $$

   $$ a^2-2ad-3d^2=0, $$

   $$ (a+d)(a-3d)=0. $$

   Так как длины сторон положительны, то $$a\neq -d$$, значит

   $$a=3d.$$

   Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен

   $$ r=\frac{a+(a+d)-(a+2d)}{2}=\frac{a-d}{2}. $$

   Подставим $$a=3d$$:

   $$ r=\frac{3d-d}{2}=d. $$

   Значит, разность прогрессии равна радиусу вписанной окружности: $$d=r$$.

3. Докажем, что если один из углов треугольника равен $$120^\circ$$, то стороны относятся как $$3:5:7$$.

   Пусть стороны снова равны $$a,\; a+d,\; a+2d$$, а угол $$120^\circ$$ лежит между сторонами $$a$$ и $$a+d$$. По теореме косинусов:

   $$ (a+2d)^2=a^2+(a+d)^2-2a(a+d)\cos 120^\circ. $$

   Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12$$, получаем

   $$ (a+2d)^2=a^2+(a+d)^2+a(a+d). $$

   Раскроем скобки:

   $$ a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+ad, $$

   $$ 2a^2-ad-3d^2=0, $$

   $$ (2a-3d)(a+d)=0. $$

   Так как $$a+d>0$$, то

   $$2a=3d,\qquad a=\frac{3d}{2}.$$

   Тогда

   $$ b=a+d=\frac{3d}{2}+d=\frac{5d}{2},\qquad c=a+2d=\frac{3d}{2}+2d=\frac{7d}{2}. $$

   Следовательно,

   $$ a:b:c=\frac{3d}{2}:\frac{5d}{2}:\frac{7d}{2}=3:5:7. $$

Ответ

1) $$ac=6Rr$$; 2) $$d=r$$; 3) $$a:b:c=3:5:7$$.