Упр.1028 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Докажите, что если:
1) длины сторон $$a$$, $$b$$ и $$c$$ треугольника образуют арифметическую прогрессию, то $$ac=6Rr$$, где $$R$$ и $$r$$ — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;
2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;
3) длины сторон треугольника с углом $$120^\circ$$ образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как $$3:5:7$$.
Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, тогда их можно записать так:
$$a,\; b,\; c = a+d,\; a+2d,$$
где $$d$$ — разность прогрессии. Тогда
$$b=\frac{a+c}{2}.$$
Докажем, что $$ac=6Rr$$.
Используем формулы
$$R=\frac{abc}{4S}, \qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$
Тогда
$$6Rr=6\cdot \frac{abc}{4S}\cdot \frac{2S}{a+b+c} =\frac{3abc}{a+b+c}.$$
Так как $$b=\frac{a+c}{2}$$, то
$$a+b+c=a+\frac{a+c}{2}+c=\frac{3(a+c)}{2}.$$
Следовательно,
$$6Rr=\frac{3abc}{\frac{3(a+c)}{2}}=\frac{2abc}{a+c}.$$
Но из $$b=\frac{a+c}{2}$$ получаем $$a+c=2b$$, значит
$$6Rr=\frac{2abc}{2b}=ac.$$
Итак, $$ac=6Rr$$.
Докажем, что в прямоугольном треугольнике разность арифметической прогрессии равна радиусу вписанной окружности.
Пусть стороны равны $$a,\; a+d,\; a+2d$$, причём $$a$$ и $$a+d$$ — катеты, а $$a+2d$$ — гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора:
$$a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.$$
Раскроем скобки:
$$a^2+a^2+2ad+d^2=a^2+4ad+4d^2,$$
$$a^2-2ad-3d^2=0,$$
$$(a+d)(a-3d)=0.$$
Так как длины сторон положительны, то $$a\neq -d$$, значит
$$a=3d.$$
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен
$$r=\frac{a+(a+d)-(a+2d)}{2}=\frac{a-d}{2}.$$
Подставим $$a=3d$$:
$$r=\frac{3d-d}{2}=d.$$
Значит, разность прогрессии равна радиусу вписанной окружности: $$d=r$$.
Докажем, что если один из углов треугольника равен $$120^\circ$$, то стороны относятся как $$3:5:7$$.
Пусть стороны снова равны $$a,\; a+d,\; a+2d$$, а угол $$120^\circ$$ лежит между сторонами $$a$$ и $$a+d$$. По теореме косинусов:
$$(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2-2a(a+d)\cos 120^\circ.$$
Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12$$, получаем
$$(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2+a(a+d).$$
Раскроем скобки:
$$a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+ad,$$
$$2a^2-ad-3d^2=0,$$
$$(2a-3d)(a+d)=0.$$
Так как $$a+d>0$$, то
$$2a=3d,\qquad a=\frac{3d}{2}.$$
Тогда
$$b=a+d=\frac{3d}{2}+d=\frac{5d}{2},\qquad c=a+2d=\frac{3d}{2}+2d=\frac{7d}{2}.$$
Следовательно,
$$a:b:c=\frac{3d}{2}:\frac{5d}{2}:\frac{7d}{2}=3:5:7.$$
Ответ
1) $$ac=6Rr$$; 2) $$d=r$$; 3) $$a:b:c=3:5:7$$.
