Упр.1027 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите, что если числа а, b и с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений а^2 + ab + b^2, а^2 + ас + с^2, b^2 + bс + с^2 также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak9 1027 95

Так как числа $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$a+c=2b.$$

Обозначим

$$x=a^2+ab+b^2,\quad y=a^2+ac+c^2,\quad z=b^2+bc+c^2.$$

Нужно доказать, что $$x, y, z$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то есть

$$2y=x+z.$$

Вычислим:

$$ x+z=(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)=a^2+ab+2b^2+bc+c^2. $$

А также

$$ 2y=2(a^2+ac+c^2)=2a^2+2ac+2c^2. $$

Рассмотрим разность:

$$ 2y-(x+z)=2a^2+2ac+2c^2-a^2-ab-2b^2-bc-c^2. $$

Преобразуем, используя $$a+c=2b$$:

$$ 2y-(x+z)=a^2+2ac+c^2-ab-bc-2b^2 $$

$$ =(a+c)^2-b(a+c)-2b^2. $$

Так как $$a+c=2b$$, получаем

$$ (2b)^2-b\cdot 2b-2b^2=4b^2-2b^2-2b^2=0. $$

Значит,

$$2y=x+z,$$

то есть числа $$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

Доказано: $$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.