Упр.1025 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Известно, что бесконечная последовательность $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ является арифметической прогрессией с разностью $$d \ne 0$$. Является ли арифметической прогрессией последовательность:
1) $$-a_2, -a_4, -a_6, -a_8, \ldots$$;
2) $$a_1+5, a_2+5, a_3+5, \ldots$$;
3) $$1-a_1, 1-a_2, 1-a_3, \ldots$$;
4) $$a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots$$;
5) $$a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, \ldots$$;
6) $$a_1+a_2, a_3+a_4, a_5+a_6, \ldots$$?
В случае утвердительного ответа укажите, чему равна разность прогрессии.
Пусть исходная арифметическая прогрессия имеет вид $$a_n=a_1+d(n-1), \quad d\ne 0.$$
$$-a_2,\,-a_4,\,-a_6,\,-a_8,\ldots$$
Так как $$a_2=a_1+d,\ a_4=a_1+3d,\ a_6=a_1+5d,$$ то
$$-a_2=-a_1-d,\quad -a_4=-a_1-3d,\quad -a_6=-a_1-5d,\ldots$$
Разность:
$$(-a_1-3d)-(-a_1-d)=-2d.$$
Это арифметическая прогрессия.
$$a_1+5,\ a_2+5,\ a_3+5,\ldots$$
Прибавление одного и того же числа к каждому члену прогрессии не меняет разность, значит
$$d’ = d.$$
Это арифметическая прогрессия.
$$1-a_1,\ 1-a_2,\ 1-a_3,\ldots$$
Разность соседних членов:
$$\bigl(1-a_{n+1}\bigr)-\bigl(1-a_n\bigr)=-(a_{n+1}-a_n)=-d.$$
Это арифметическая прогрессия.
$$a_1^2,\ a_2^2,\ a_3^2,\ldots$$
Проверим разность:
$$a_{n+1}^2-a_n^2=(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)=d(a_{n+1}+a_n).$$
Так как $$a_{n+1}+a_n$$ зависит от $$n,$$ разность не постоянна. Значит, это не арифметическая прогрессия.
$$a_1+a_2,\ a_2+a_3,\ a_3+a_4,\ldots$$
Общий член:
$$b_n=a_n+a_{n+1}.$$
Тогда
$$b_{n+1}-b_n=(a_{n+1}+a_{n+2})-(a_n+a_{n+1})=a_{n+2}-a_n=2d.$$
Это арифметическая прогрессия.
$$a_1+a_2,\ a_3+a_4,\ a_5+a_6,\ldots$$
Разность соседних членов:
$$\bigl(a_3+a_4\bigr)-\bigl(a_1+a_2\bigr)=4d.$$
Следовательно, это арифметическая прогрессия.
Ответ
1) да, $$-2d$$; 2) да, $$d$$; 3) да, $$-d$$; 4) нет; 5) да, $$2d$$; 6) да, $$4d$$.
