Упр.1024 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$x+d$$, где $$d>0$$ — разность арифметической прогрессии. Тогда гипотенуза равна $$4$$ см, значит по теореме Пифагора

$$x^2+(x+d)^2=16.$$

Так как стороны образуют арифметическую прогрессию, средний член равен полусумме крайних:

$$x+d=\frac{x+4}{2}.$$

Тогда

$$d=\frac{4-x}{2}.$$

Подставим в уравнение Пифагора:

$$x^2+\left(x+\frac{4-x}{2}\right)^2=16.$$

Упростим:

$$x^2+\left(\frac{x+4}{2}\right)^2=16,$$

$$4x^2+(x+4)^2=64,$$

$$4x^2+x^2+8x+16=64,$$

$$5x^2+8x-48=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2-4\cdot 5\cdot(-48)=64+960=1024,$$

$$x=\frac{-8\pm \sqrt{1024}}{10}=\frac{-8\pm 32}{10}.$$

Получаем:

$$x_1=2{,}4,\qquad x_2=-4{,}$$

отрицательный корень не подходит. Тогда

$$d=\frac{4-2{,}4}{2}=0{,}8.$$

Следовательно, второй катет равен

$$2{,}4+0{,}8=3{,}2.$$

Ответ

$$2{,}4\text{ см и }3{,}2\text{ см}.$$