Упр.998 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 998. В геометрической прогрессии (bn), знаменатель которой положителен, b1* b2 = а b3 * b4 = 3.Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 998 95

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q>0$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

Из условия:

$$b_1b_2=\frac{1}{27},\qquad b_3b_4=3.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1\cdot b_1q=b_1^2q=\frac{1}{27},$$

$$b_1q^2\cdot b_1q^3=b_1^2q^5=3.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$\frac{b_1^2q^5}{b_1^2q}=q^4=\frac{3}{1/27}=81.$$

Так как $$q>0$$, то

$$q=3.$$

Теперь найдём $$b_1$$:

$$b_1^2\cdot 3=\frac{1}{27},$$

$$b_1^2=\frac{1}{81},\qquad b_1=\frac{1}{9}.$$

Сумма первых четырёх членов:

$$S_4=b_1\frac{q^4-1}{q-1}.$$

Подставим найденные значения:

$$S_4=\frac{1}{9}\cdot\frac{3^4-1}{3-1}=\frac{1}{9}\cdot\frac{81-1}{2}=\frac{1}{9}\cdot 40=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}.$$

Ответ

$$4\frac{4}{9}$$