Упр.990 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 990. В арифметической прогрессии (аn) сумма пятого и десятого членов равна -9, а сумма четвёртого и шестого членов равна -4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 990 95

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.

Тогда

$$a_5=a_1+4d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_6=a_1+5d.$$

По условию:

$$a_5+a_{10}=-9,$$

$$a_4+a_6=-4.$$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$$ (a_1+4d)+(a_1+9d)=-9 \\ 2a_1+13d=-9 $$

$$ (a_1+3d)+(a_1+5d)=-4 \\ 2a_1+8d=-4 $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (2a_1+13d)-(2a_1+8d)=-9-(-4) \\ 5d=-5 \\ d=-1 $$

Подставим $$d=-1$$ во второе уравнение:

$$ 2a_1+8(-1)=-4 \\ 2a_1-8=-4 \\ 2a_1=4 \\ a_1=2 $$

Найдём сумму первых десяти членов:

$$ S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10 $$

Сначала найдём $$a_{10}$$:

$$ a_{10}=a_1+9d=2+9\cdot(-1)=-7 $$

Тогда

$$ S_{10}=\frac{2+(-7)}{2}\cdot 10=\frac{-5}{2}\cdot 10=-25 $$

Ответ

$$S_{10}=-25$$