Упр.982 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 982. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см2. Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см2. Найдите катеты данного треугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 982 95

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ см и $$y$$ см. Тогда по условию:

$$\frac{1}{2}xy=44,$$

$$\frac{1}{2}(x-1)(y+2)=50.$$

Из первого уравнения получаем:

$$xy=88.$$

Из второго уравнения:

$$ (x-1)(y+2)=100,$$

$$xy+2x-y-2=100.$$

Подставим $$xy=88$$:

$$88+2x-y-2=100,$$

$$2x-y=14,$$

$$y=2x-14.$$

Подставим это выражение в уравнение $$xy=88$$:

$$x(2x-14)=88,$$

$$2x^2-14x-88=0,$$

$$x^2-7x-44=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-44)=49+176=225,$$

$$x=\frac{7\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=11,\quad x_2=-4.$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, берём $$x=11$$. Тогда

$$y=2\cdot 11-14=8.$$

Проверка: $$\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 8=44$$, а после изменения катетов $$\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10=50$$.

Ответ

$$11$$ см и $$8$$ см.