Упр.980 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 980. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на 1/10. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на 1/15. Найдите эту дробь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 980 95

Пусть числитель дроби равен $$x$$, а знаменатель — $$y$$.

Тогда по условию:

$$ \frac{x-1}{y-1}=\frac{x}{y}-\frac{1}{10}, \qquad \frac{x+1}{y+1}=\frac{x}{y}+\frac{1}{15}. $$

Умножим первое уравнение на $$10y(y-1)$$:

$$ 10y(x-1)=10x(y-1)-y(y-1), $$
$$ 10xy-10y=10xy-10x-y^2+y, $$
$$ y^2-11y+10x=0. $$

Умножим второе уравнение на $$15y(y+1)$$:

$$ 15y(x+1)=15x(y+1)+y(y+1), $$
$$ 15xy+15y=15xy+15x+y^2+y, $$
$$ y^2-14y+15x=0. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (y^2-14y+15x)-(y^2-11y+10x)=0, $$
$$ -3y+5x=0, $$
$$ 5x=3y. $$

Подставим $$x=\frac{3y}{5}$$ в уравнение $$y^2-11y+10x=0$$:

$$ y^2-11y+10\cdot\frac{3y}{5}=0, $$
$$ y^2-11y+6y=0, $$
$$ y^2-5y=0, $$
$$ y(y-5)=0. $$

Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, то $$y\neq 0$$. Значит, $$y=5$$.

Тогда

$$ 5x=3\cdot 5, $$
$$ 5x=15, $$
$$ x=3. $$

Искомая дробь:

$$ \frac{x}{y}=\frac{3}{5}. $$

Ответ

$$\frac{3}{5}$$