Упр.979 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 979. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на 1/6. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на 1/10. Найдите эту дробь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 979 95

Подробный ответ

Пусть числитель дроби равен $$x$$, а знаменатель — $$y$$. Тогда по условию:

$$ \frac{x-1}{y-1}=\frac{x}{y}+\frac{1}{6}, \qquad \frac{x+1}{y+1}=\frac{x}{y}-\frac{1}{10}. $$

Умножим первое уравнение на $$6y(y-1)$$:

$$ 6y(x-1)=6(x)(y-1)+y(y-1), $$
$$ 6xy-6y=6xy-6x+y^2-y, $$
$$ y^2+5y-6x=0. $$

Умножим второе уравнение на $$10y(y+1)$$:

$$ 10y(x+1)=10x(y+1)-y(y+1), $$
$$ 10xy+10y=10xy+10x-y^2-y, $$
$$ y^2+11y-10x=0. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (y^2+11y-10x)-(y^2+5y-6x)=0, $$
$$ 6y-4x=0, $$
$$ 2x=3y. $$

Подставим $$x=\frac{3y}{2}$$ в уравнение $$y^2+5y-6x=0$$:

$$ y^2+5y-6\cdot \frac{3y}{2}=0, $$
$$ y^2-4y=0, $$
$$ y(y-4)=0. $$

Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $$y\neq 0$$. Значит, $$y=4$$.