Упр.975 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) парабола у = х2 — 6х + 8 и прямая х + у = 4;
б) прямая х + у = 4 и гипербола у = 3/x;
в) окружности х^2 + у^2 = 4 и (х — З)^2 + у^2 = 1;
г) окружность (х — 1)^2 + (у — 2)^2 = 4 и прямая х + 2у = 3.
Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Подробный ответ

а) Решим систему:
$$ \begin{cases} y=x^2-6x+8,\\ x+y=4 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=4-x$$. Подставим в первое:
$$ 4-x=x^2-6x+8 $$
$$ x^2-5x+4=0 $$
$$ D=25-16=9 $$
$$ x_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad x_2=\frac{5+3}{2}=4 $$
Тогда
$$ y_1=4-1=3,\quad y_2=4-4=0 $$
Точки пересечения: $$ (1;3) $$ и $$ (4;0) $$.
б) Решим систему:
$$ \begin{cases} x+y=4,\\ y=\frac{3}{x} \end{cases} $$
Из первого уравнения $$y=4-x$$. Подставим во второе:
$$ 4-x=\frac{3}{x} $$
$$ x(4-x)=3 $$
$$ x^2-4x+3=0 $$
$$ D=16-12=4 $$
$$ x_1=\frac{4-2}{2}=1,\quad x_2=\frac{4+2}{2}=3 $$
Тогда
$$ y_1=4-1=3,\quad y_2=4-3=1 $$
Точки пересечения: $$ (1;3) $$ и $$ (3;1) $$.
в) Решим систему:
$$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ (x-3)^2+y^2=1 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ (x-3)^2-x^2=1-4 $$
$$ x^2-6x+9-x^2=-3 $$
$$ -6x=-12,\quad x=2 $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2^2+y^2=4 $$
$$ y^2=0,\quad y=0 $$
Точка пересечения: $$ (2;0) $$.
г) Решим систему:
$$ \begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2=4,\\ x+2y=3 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$x=3-2y$$. Подставим в первое:
$$ (3-2y-1)^2+(y-2)^2=4 $$
$$ (2-2y)^2+(y-2)^2=4 $$
$$ 4-8y+4y^2+y^2-4y+4=4 $$
$$ 5y^2-12y+4=0 $$
$$ D=144-80=64 $$
$$ y_1=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5},\quad y_2=\frac{12+8}{10}=2 $$
Тогда
$$ x_1=3-2\cdot\frac{2}{5}=\frac{11}{5},\quad x_2=3-2\cdot 2=-1 $$
Точки пересечения: $$ \left(\frac{11}{5};\frac{2}{5}\right) $$ и $$ (-1;2) $$.