Упр.974 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
x+xy+y=11,
x-xy+y=1;
б) система
2x-y-xy=14,
x+2y+xy=-7;
в) система
x2+y2=34,
xy=15;
г) система
x2-y2=12,
xy=8.

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x+xy+y=11,\\ x-xy+y=1. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x+2y=12,\quad x+y=6. $$
Тогда $$y=6-x$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x-x(6-x)+(6-x)=1, $$
$$ x-6x+x^2+6-x=1, $$
$$ x^2-6x+5=0. $$
$$ D=36-20=16, $$
$$ x_1=\frac{6-4}{2}=1,\quad x_2=\frac{6+4}{2}=5. $$
Тогда
$$ y_1=6-1=5,\quad y_2=6-5=1. $$
Получаем решения: $$(1;5)$$ и $$(5;1).$$
$$ \begin{cases} 2x-y-xy=14,\\ x+2y+xy=-7. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 3x+y=7,\quad y=7-3x. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2x-(7-3x)-x(7-3x)=14, $$
$$ 2x-7+3x-7x+3x^2=14, $$
$$ 3x^2-2x-21=0. $$
$$ D=4+252=256, $$
$$ x_1=\frac{2+16}{6}=3,\quad x_2=\frac{2-16}{6}=-\frac{7}{3}. $$
Тогда
$$ y_1=7-3\cdot 3=-2,\quad y_2=7-3\left(-\frac{7}{3}\right)=14. $$
Получаем решения: $$(3;-2)$$ и $$\left(-\frac{7}{3};14\right).$$
$$ \begin{cases} x^2+y^2=34,\\ xy=15. \end{cases} $$
Используем формулу:
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=34+30=64. $$
Значит, $$x+y=8$$ или $$x+y=-8.$$
1) Если $$x+y=8,$$ то
$$ \begin{cases} x+y=8,\\ xy=15. \end{cases} $$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ t^2-8t+15=0, $$
$$ t_1=3,\quad t_2=5. $$
Получаем пары $$(3;5)$$ и $$(5;3).$$
2) Если $$x+y=-8,$$ то
$$ \begin{cases} x+y=-8,\\ xy=15. \end{cases} $$
Тогда
$$ t^2+8t+15=0, $$
$$ t_3=-3,\quad t_4=-5. $$
Получаем пары $$(-3;-5)$$ и $$(-5;-3).$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=12,\\ xy=8. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$x=\dfrac{8}{y}$$, где $$y\neq 0.$$ Подставим в первое:
$$ \frac{64}{y^2}-y^2=12. $$
Умножим на $$y^2$$:
$$ 64-y^4=12y^2, $$
$$ y^4+12y^2-64=0. $$
Положим $$a=y^2,\ a\ge 0.$$ Тогда
$$ a^2+12a-64=0. $$
$$ D=144+256=400, $$
$$ a_1=\frac{-12+20}{2}=4,\quad a_2=\frac{-12-20}{2}=-16. $$
Так как $$a\ge 0,$$ подходит только $$a=4.$$ Значит,
$$ y^2=4,\quad y=2 \text{ или } y=-2. $$
Тогда
$$ x=\frac{8}{2}=4,\quad x=\frac{8}{-2}=-4. $$
Получаем решения: $$(4;2)$$ и $$(-4;-2).$$