Упр.972 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
а) система
y+x2=5x,
2y+5=x;
б) система
x2+y2=25,
2×2+y=6;
в) система
xy=1,
x2+y2=9;
г) система
xy=-2,
y+8=1×2/2.
а) Из первого уравнения получаем
$$y=5x-x^2.$$
Из второго уравнения:
$$2y+5=x,\qquad y=\frac{x-5}{2}.$$
Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$5x-x^2=\frac{x-5}{2}.$$
$$10x-2x^2=x-5$$
$$2x^2-9x-5=0.$$
$$D=81+40=121,$$
$$x=\frac{9\pm 11}{4}.$$
$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=5.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-\frac12-5}{2}=-\frac{11}{4},\qquad y_2=\frac{5-5}{2}=0.$$
б) Из первого уравнения:
$$x^2+y^2=25,$$
это окружность с центром в начале координат и радиусом $$5$$.
Из второго уравнения:
$$2x^2+y=6,\qquad y=6-2x^2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(6-2x^2)^2=25.$$
$$x^2+36-24x^2+4x^4=25$$
$$4x^4-23x^2+11=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$4t^2-23t+11=0.$$
$$D=23^2-4\cdot 4\cdot 11=361,$$
$$t=\frac{23\pm 19}{8}.$$
$$t_1= \frac12,\qquad t_2= \frac{11}{2}.$$
Значит,
$$x=\pm \frac{\sqrt2}{2}\quad \text{или}\quad x=\pm \sqrt{\frac{11}{2}}.$$
Соответствующие значения $$y$$:
$$y=6-2x^2=5 \quad \text{при } x^2=\frac12,$$
$$y=6-2x^2=-5 \quad \text{при } x^2=\frac{11}{2}.$$
в) Из первого уравнения:
$$y=\frac{1}{x},\qquad x\ne 0.$$
Подставим во второе:
$$x^2+\frac{1}{x^2}=9.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-9x^2+1=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-9t+1=0.$$
$$D=81-4=77,$$
$$t=\frac{9\pm \sqrt{77}}{2}.$$
Следовательно,
$$x=\pm \sqrt{\frac{9+\sqrt{77}}{2}},\qquad x=\pm \sqrt{\frac{9-\sqrt{77}}{2}}.$$
А так как $$y=\frac{1}{x}$$, то для каждой найденной $$x$$ получаем соответствующее $$y$$.
г) Из первого уравнения:
$$y=-\frac{2}{x},\qquad x\ne 0.$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac12 x^2-8.$$
Приравняем:
$$-\frac{2}{x}=\frac12 x^2-8.$$
Умножим на $$2x$$:
$$-4=x^3-16x,$$
$$x^3-16x+4=0.$$
Корни этого уравнения графически:
$$x\approx -4{,}1,\qquad x\approx 0{,}3,\qquad x\approx 3{,}9.$$
Тогда
$$y=-\frac{2}{x}\approx 0{,}5,\qquad y\approx -8,\qquad y\approx -0{,}5.$$
Ответ
а) $$\left(-\frac12;\,-\frac{11}{4}\right),\ (5;\,0).$$
б) $$\left(-\sqrt{\frac{11}{2}};\,-5\right),\ \left(-\frac{\sqrt2}{2};\,5\right),\ \left(\frac{\sqrt2}{2};\,5\right),\ \left(\sqrt{\frac{11}{2}};\,-5\right).$$
в) $$\left(\pm \sqrt{\frac{9+\sqrt{77}}{2}};\ \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{9+\sqrt{77}}{2}}}\right),\ \left(\pm \sqrt{\frac{9-\sqrt{77}}{2}};\ \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{9-\sqrt{77}}{2}}}\right).$$
г) $$(-4{,}1;\ 0{,}5),\ (0{,}3;\ -8),\ (3{,}9;\ -0{,}5).$$
