Упр.912 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 912. Упростите:

1. $$\frac{x^2-4x}{x^2+7x}:\frac{24-6x}{49-x^2}$$

   Разложим на множители:
   $$x^2-4x=x(x-4), \quad x^2+7x=x(x+7),$$
   $$24-6x=6(4-x), \quad 49-x^2=(7-x)(7+x).$$

   Тогда
   $$ \frac{x(x-4)}{x(x+7)}:\frac{6(4-x)}{(7-x)(7+x)} = \frac{x(x-4)}{x(x+7)}\cdot\frac{(7-x)(7+x)}{6(4-x)}. $$
   Сокращаем:
   $$ \frac{x-4}{x+7}\cdot\frac{7-x}{6(4-x)}=\frac{x-7}{6}. $$

2. $$\frac{y^3-16y}{2y+18}:\frac{4-y}{y^2+9y}$$

   Разложим на множители:
   $$y^3-16y=y(y^2-16)=y(y-4)(y+4),$$
   $$2y+18=2(y+9), \quad y^2+9y=y(y+9).$$

   Тогда
   $$ \frac{y(y-4)(y+4)}{2(y+9)}:\frac{4-y}{y(y+9)} = \frac{y(y-4)(y+4)}{2(y+9)}\cdot\frac{y(y+9)}{4-y}. $$
   Так как $$4-y=-(y-4),$$ получаем
   $$ -\frac{y^2(y+4)}{2}=-\frac{y^3+4y^2}{2}. $$

3. $$\frac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}:\frac{a^2+b^2}{ab}$$

   Преобразуем числитель первой дроби:
   $$ (a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2. $$
   Тогда
   $$ \frac{a^2+b^2}{4a^2}:\frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{a^2+b^2}{4a^2}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2} = \frac{b}{4a}. $$

4. $$\frac{5c^3-5}{c+2}:\frac{(c+1)^2-c}{13c+26}$$

   Разложим на множители:
   $$ 5c^3-5=5(c^3-1)=5(c-1)(c^2+c+1), $$
   $$ (c+1)^2-c=c^2+2c+1-c=c^2+c+1, $$
   $$13c+26=13(c+2).$$

   Тогда
   $$ \frac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2}:\frac{c^2+c+1}{13(c+2)} = \frac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2}\cdot\frac{13(c+2)}{c^2+c+1} =65(c-1)=65c-65. $$

Ответ

а) $$\frac{x-7}{6}$$; б) $$-\frac{y^3+4y^2}{2}$$; в) $$\frac{b}{4a}$$; г) $$65c-65$$.