Упр.910 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 910. Упростите:

Подробный ответ

а)
$$\frac{2}{x^2-3x}-\frac{1}{x^2+3x}-\frac{x+1}{x^2-9}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-3x=x(x-3),\quad x^2+3x=x(x+3),\quad x^2-9=(x-3)(x+3).$$
Тогда
$$ \frac{2}{x(x-3)}-\frac{1}{x(x+3)}-\frac{x+1}{(x-3)(x+3)} = \frac{2(x+3)-(x-3)-x(x+1)}{x(x-3)(x+3)}. $$
Числитель:
$$ 2(x+3)-(x-3)-x(x+1)=2x+6-x+3-x^2-x=9-x^2. $$
Значит,
$$ \frac{9-x^2}{x(x-3)(x+3)}=\frac{-(x^2-9)}{x(x^2-9)}=-\frac{1}{x}. $$
б)
$$\frac{2y+1}{y^2+3y}+\frac{y+2}{3y-y^2}-\frac{1}{y}$$
Преобразуем знаменатели:
$$y^2+3y=y(y+3),\quad 3y-y^2=y(3-y).$$
Тогда
$$ \frac{2y+1}{y(y+3)}+\frac{y+2}{y(3-y)}-\frac{1}{y} = \frac{(2y+1)(3-y)+(y+2)(y+3)-(3-y)(y+3)}{y(y+3)(3-y)}. $$
Раскроем скобки:
$$ (2y+1)(3-y)=6y+3-2y^2-y, $$
$$ (y+2)(y+3)=y^2+5y+6, $$
$$ (3-y)(y+3)=9-y^2. $$
Тогда числитель равен
$$ 6y+3-2y^2-y+y^2+5y+6-(9-y^2)=10y. $$
Получаем
$$ \frac{10y}{y(y+3)(3-y)}=\frac{10}{(y+3)(3-y)}=\frac{10}{9-y^2}. $$
в)
$$\frac{a^2+16a+12}{a^3-8}-\frac{2-3a}{a^2+2a+4}-\frac{3}{a-2}$$
Разложим:
$$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4).$$
Тогда
$$ \frac{a^2+16a+12}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\frac{2-3a}{a^2+2a+4}-\frac{3}{a-2} $$
$$ = \frac{a^2+16a+12-(a-2)(2-3a)-3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}. $$
Раскроем скобки:
$$ (a-2)(2-3a)= -3a^2+8a-4. $$
Тогда числитель:
$$ a^2+16a+12-(-3a^2+8a-4)-3a^2-6a-12 =a^2+2a+4. $$
Следовательно,
$$ \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\frac{1}{a-2}. $$
г)
$$\frac{2}{4b^2-6b+9}+\frac{4b^2+18}{8b^3+27}-\frac{1}{2b+3}$$
Заметим, что
$$8b^3+27=(2b+3)(4b^2-6b+9).$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2(2b+3)+(4b^2+18)-(4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}. $$
Числитель:
$$ 4b+6+4b^2+18-4b^2+6b-9=10b+15=5(2b+3). $$
Тогда
$$ \frac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\frac{5}{4b^2-6b+9}. $$