Упр.853 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 853 Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 853 95

Обозначим число элементов через $$n$$. По условию число размещений из $$n$$ элементов по четыре в 12 раз больше числа размещений из $$n$$ элементов по два:

$$A_n^4=12A_n^2.$$

Используем формулу размещений:

$$\frac{n!}{(n-4)!}=12\cdot \frac{n!}{(n-2)!}.$$

Сократим на $$n!$$:

$$\frac{1}{(n-4)!}=12\cdot \frac{1}{(n-2)!}.$$

Удобнее записать через произведения:

$$n(n-1)(n-2)(n-3)=12n(n-1).$$

Так как $$n\ge 4$$, можно сократить на $$n(n-1)$$:

$$ (n-2)(n-3)=12.$$

Раскроем скобки:

$$n^2-5n+6=12,$$

$$n^2-5n-6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25+24=49.$$

$$n=\frac{5\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{5\pm 7}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=6,\quad n_2=-1.$$

Так как число элементов не может быть отрицательным, подходит только $$n=6$$.

Ответ

6 элементов.