Упр.840 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 840 Решите уравнение:

а)

$$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=42$$

Раскроем факториал:
$$\frac{(n+1)\cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}=42,$$
$$n(n+1)=42.$$

Получаем квадратное уравнение:
$$n^2+n-42=0.$$

$$D=1-4\cdot 1\cdot(-42)=169,$$
$$n=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

$$n_1=6,\quad n_2=-7.$$

Так как $n$ — натуральное число, подходит только $n=6$.

б)

$$\frac{(n+1)!-n!}{(n+1)!}=\frac{5}{6}$$

Вынесем $n!$:
$$\frac{(n+1)n!-n!}{(n+1)!}=\frac{5}{6},$$
$$\frac{n!\bigl((n+1)-1\bigr)}{(n+1)!}=\frac{5}{6},$$
$$\frac{n\cdot n!}{(n+1)\cdot n!}=\frac{5}{6}.$$

Сократим:
$$\frac{n}{n+1}=\frac{5}{6}.$$

Перемножим крест-накрест:
$$6n=5n+5,$$
$$n=5.$$

Ответ

а) $6$; б) $5$.