Упр.781 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 781 Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 781 95

Пусть в группе туристов n. Тогда число способов выбрать двух дежурных равно $$C_n^2$$, а четырёх дежурных — $$C_n^4$$.

По условию:

$$C_n^4=13\cdot C_n^2.$$

Подставим формулы сочетаний:

$$\frac{n!}{4!(n-4)!}=13\cdot \frac{n!}{2!(n-2)!}.$$

Сократим на $$\frac{n!}{(n-4)!}$$:

$$\frac{1}{4!}=13\cdot \frac{1}{2!(n-2)(n-3)}.$$

Удобнее сразу преобразовать исходное равенство:

$$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}=13\cdot \frac{n(n-1)}{2}.$$

Так как $$n>4$$, сократим на $$n(n-1)$$:

$$\frac{(n-2)(n-3)}{24}= \frac{13}{2}.$$

Тогда

$$ (n-2)(n-3)=156.$$

Раскроем скобки:

$$n^2-5n+6=156,$$

$$n^2-5n-150=0.$$

Найдём корни:

$$D= (-5)^2-4\cdot 1\cdot (-150)=25+600=625,$$

$$n=\frac{5\pm 25}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=15,\quad n_2=-10.$$

Так как число туристов не может быть отрицательным, подходит только $$n=15$$.

Ответ

15 туристов.