Упр.751 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 751. Упростите выражение:

Подробный ответ

а)

$$ \left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108} $$

Разложим на множители:
$$ 6a-18=6(a-3), \quad a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9), $$
$$ 5a-15=5(a-3), \quad 4a^3+108=4(a^3+27)=4(a+3)(a^2-3a+9). $$
Тогда
$$ \frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)(a+3)-6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}. $$
Вынесем общий множитель:
$$ \frac{(a-3)\bigl((a+3)-6\bigr)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}. $$
Деление на дробь заменим умножением на обратную:
$$ \frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}\cdot \frac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)}. $$
Сокращаем:
$$ \frac{4(a-3)}{5}. $$

б)

$$ \frac{ab^2-a^2b}{a+b}\cdot \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}} $$

Преобразуем первую дробь:
$$ ab^2-a^2b=ab(b-a)=-ab(a-b). $$
Тогда
$$ \frac{ab^2-a^2b}{a+b}=\frac{-ab(a-b)}{a+b}. $$
Вторую дробь упростим, приведя к общему знаменателю:
$$ a+\frac{ab}{a-b}=\frac{a(a-b)+ab}{a-b}=\frac{a^2}{a-b}, $$
$$ a-\frac{ab}{a+b}=\frac{a(a+b)-ab}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}. $$
Следовательно,
$$ \frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}} = \frac{a^2}{a-b}\cdot \frac{a+b}{a^2} = \frac{a+b}{a-b}. $$
Теперь перемножим:
$$ \frac{-ab(a-b)}{a+b}\cdot \frac{a+b}{a-b}=-ab. $$