Упр.741 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) мальчики располагаются в произвольном порядке;
б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь — в конце;
в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном порядке;
г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причём Игорь должен находиться впереди Олега.
1) Для каждого случая выясните, какая комбинация рассматривается в данной ситуации.
2) Выполните вычисления и дайте ответ.

Рассмотрим 7 мальчиков.

1. Если мальчики могут стоять в произвольном порядке, то число расположений равно числу перестановок из 7 элементов:

   $$N=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040.$$

2. Если Олег стоит в начале ряда, а Игорь — в конце, то остаётся расставить ещё 5 мальчиков. Число способов:

   $$N=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120.$$

3. Если Олег и Игорь стоят рядом в произвольном порядке, то считаем их как один блок. Тогда вместе с этим блоком получаем 6 объектов, которые можно переставить $$6!$$ способами. Внутри блока Олег и Игорь могут меняться местами $$2!$$ способами:

   $$N=2!\cdot 6!=2\cdot 720=1440.$$

4. Если Олег и Игорь стоят рядом, причём Игорь впереди Олега, то порядок внутри блока уже фиксирован. Тогда остаётся переставить 6 объектов:

   $$N=6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720.$$

Ответ

а) $$5040$$; б) $$120$$; в) $$1440$$; г) $$720$$.