Упр.712 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 712 Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна 11/64,а сумма следующих пяти членов равна _5*1/2. Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 712 95

Подробный ответ

Обозначим сумму первых пяти членов через $$S_5$$, сумму первых десяти членов — через $$S_{10}$$, а сумму последних пяти членов — через $$S_{15}-S_{10}$$.

По условию:

$$S_5=\frac{11}{64}, \qquad S_{10}-S_5=-5\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}.$$

Для геометрической прогрессии

$$S_5=b_1\frac{q^5-1}{q-1}, \qquad S_{10}=b_1\frac{q^{10}-1}{q-1}.$$

Тогда

$$S_{10}-S_5=b_1\frac{q^{10}-q^5}{q-1}=b_1q^5\frac{q^5-1}{q-1}=q^5S_5.$$

Следовательно,

$$q^5=\frac{S_{10}-S_5}{S_5}=\frac{-\frac{11}{2}}{\frac{11}{64}}=-32,$$

откуда

$$q=-2.$$

Теперь найдём сумму последних пяти членов:

$$S_{15}-S_{10}=q^{10}S_5.$$