Упр.711 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Sn = 3/4(5n — 1).
Докажите, что последовательность (хn) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Найдём первые члены последовательности по формуле суммы:

$$S_n=\frac{3}{4}(5^n-1).$$

Тогда

$$x_1=S_1=\frac{3}{4}(5-1)=3,$$

$$x_2=S_2-S_1=\frac{3}{4}(25-1)-3=18-3=15.$$

Проверим отношение соседних членов:

$$q=\frac{x_2}{x_1}=\frac{15}{3}=5.$$

Значит, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $$q=5$$ и первым членом $$x_1=3.$$

Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{x_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(5^n-1)}{5-1}=\frac{3}{4}(5^n-1),$$

что совпадает с данной формулой.

Ответ

Последовательность является геометрической прогрессией; $$q=5,$$ $$x_1=3.$$