Упр.710 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) q = -3, n = 5, Sn = 20*1/3; найдите х1 и xn;
б) х1 = 11, хn = 88, Sn = 165; найдите q и n;
в) х1 = 1/2, q = -1/2, Sn = 21/64; найдите n и хn;
г) q = корень 3, хn = 18 корень 3, Sn= 26 (корень 3) + 24; найдите x1 и n.

Подробный ответ

а) $$q=-\frac13,\ n=5,\ S_5=20\frac13=\frac{61}{3}.$$
Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_5=\frac{x_1(1-q^5)}{1-q}.$$
Тогда
$$\frac{x_1\left(1-\left(-\frac13\right)^5\right)}{1+\frac13}=\frac{61}{3}.$$
$$\frac{x_1\left(1+\frac{1}{243}\right)}{\frac43}=\frac{61}{3},$$
$$\frac{x_1\cdot \frac{244}{243}}{\frac43}=\frac{61}{3},$$
$$x_1\cdot \frac{244}{243}\cdot \frac34=\frac{61}{3},$$
$$x_1\cdot \frac{61}{81}=\frac{61}{3}, \qquad x_1=27.$$
Найдём $$x_5$$:
$$x_5=x_1q^4=27\cdot \left(-\frac13\right)^4=27\cdot \frac{1}{81}=\frac13.$$
б) $$x_1=11,\ x_n=88,\ S_n=165.$$
Из формулы $$x_n=x_1q^{n-1}$$ получаем:
$$11q^{n-1}=88,\qquad q^{n-1}=8.$$
Теперь используем формулу суммы:
$$S_n=\frac{x_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Так как $$q^{n-1}=8,$$ то $$q^n=8q.$$ Тогда
$$165=\frac{11(8q-1)}{q-1}.$$
$$15=\frac{8q-1}{q-1},$$
$$15q-15=8q-1,$$
$$7q=14,\qquad q=2.$$
Тогда
$$2^{\,n-1}=8=2^3,\qquad n-1=3,\qquad n=4.$$
в) $$x_1=\frac12,\ q=-\frac12,\ S_n=\frac{21}{64}.$$
По формуле суммы:
$$S_n=\frac{x_1(1-q^n)}{1-q}.$$
Подставим данные:
$$\frac{\frac12\left(1-\left(-\frac12\right)^n\right)}{1+\frac12}=\frac{21}{64}.$$
$$\frac13\left(1-\left(-\frac12\right)^n\right)=\frac{21}{64},$$
$$1-\left(-\frac12\right)^n=\frac{63}{64},$$
$$\left(-\frac12\right)^n=\frac{1}{64}.$$
Следовательно, $$n=6$$, так как $$\left(\frac12\right)^6=\frac{1}{64}.$$
Найдём $$x_n$$:
$$x_6=x_1q^5=\frac12\cdot \left(-\frac12\right)^5=\frac12\cdot \left(-\frac{1}{32}\right)=-\frac{1}{64}.$$
г) $$q=\sqrt3,\ x_n=18\sqrt3,\ S_n=26\sqrt3+24.$$
Из формулы $$x_n=x_1q^{n-1}$$ имеем:
$$x_1(\sqrt3)^{n-1}=18\sqrt3,$$
$$x_1=\frac{18\sqrt3}{(\sqrt3)^{n-1}}=\frac{54}{(\sqrt3)^n}.$$
Теперь используем формулу суммы:
$$S_n=\frac{x_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Подставим:
$$\frac{54\left((\sqrt3)^n-1\right)}{\sqrt3-1}=26\sqrt3+24.$$
После преобразований получаем:
$$27\left((\sqrt3)^n-1\right)= (13\sqrt3+12)\left(\sqrt3(\sqrt3)^n-(\sqrt3)^n\right),$$
откуда
$$n=5.$$
Тогда
$$x_1=\frac{54}{(\sqrt3)^5}=\frac{54}{9\sqrt3}=2\sqrt3.$$