Упр.707 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) если b1 > 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
б) если b1 > 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего; в) если b1 < 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
г) если b1 < 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.

Так как $$b_n$$ — геометрическая прогрессия, то

$$b_n=b_1q^{n-1}, \qquad b_{n+1}=b_1q^n.$$

Найдём разность соседних членов:

$$b_{n+1}-b_n=b_1q^n-b_1q^{n-1}=b_1q^{n-1}(q-1).$$

Знак этой разности и определяет, возрастает прогрессия или убывает.

1. а) Если $$b_1>0$$ и $$q>1$$, то $$q^{n-1}>0$$ и $$q-1>0$$. Значит,

   $$b_{n+1}-b_n=b_1q^{n-1}(q-1)>0,$$

   то есть $$b_{n+1}>b_n$$ для любого $$n$$. Следовательно, каждый следующий член больше предыдущего.

   Пример: $$b_1=1,\ q=2$$. Тогда $$1,\,2,\,4,\,8,\dots$$

2. б) Если $$b_1>0$$ и $$0<q<1$$, то $$q^{n-1}>0$$, а $$q-1<0$$. Тогда

   $$b_{n+1}-b_n=b_1q^{n-1}(q-1)<0,$$

   значит, $$b_{n+1}<b_n$$ для любого $$n$$. Следовательно, каждый следующий член меньше предыдущего.

   Пример: $$b_1=1,\ q=\\frac12$$. Тогда $$1,\\ \\frac12,\\ \\frac14,\\ \\frac18,\\dots$$

3. в) Если $$b_1<0$$ и $$q>1$$, то $$q^{n-1}>0$$ и $$q-1>0$$, поэтому

   $$b_{n+1}-b_n=b_1q^{n-1}(q-1)<0.$$

   Значит, $$b_{n+1}<b_n$$ для любого $$n$$, то есть каждый следующий член меньше предыдущего.

   Пример: $$b_1=-1,\ q=2$$. Тогда $$-1,\,-2,\,-4,\,-8,\dots$$

4. г) Если $$b_1<0$$ и $$0<q<1$$, то $$q^{n-1}>0$$, а $$q-1<0$$. Тогда произведение

   $$b_{n+1}-b_n=b_1q^{n-1}(q-1)>0,$$

   так как произведение двух отрицательных множителей $$b_1$$ и $$q-1$$ положительно. Следовательно, $$b_{n+1}>b_n$$ для любого $$n$$, то есть каждый следующий член больше предыдущего.

   Пример: $$b_1=-1,\ q=\\frac12$$. Тогда $$-1,\\ -\\frac12,\\ -\\frac14,\\ -\\frac18,\\dots$$

Ответ

а) $$b_{n+1}>b_n$$; б) $$b_{n+1}<b_n$$; в) $$b_{n+1}<b_n$$; г) $$b_{n+1}>b_n$$.