Упр.702 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) х1 + 1; х2 + 1; … ; хn + 1; … ;
б) 3; 3х2; … ; Зхn; … ;
в) x 2/1; x2/2; … ; x 2/n; … ;
г) 1/x1; 1/x2; … ; 1/xn; …?

Подробный ответ

Пусть $$x_n$$ — геометрическая прогрессия, тогда $$x_n=x_1q^{\,n-1}$$.

Рассмотрим последовательность $$x_1+1,\; x_2+1,\; \ldots,\; x_n+1,\; \ldots$$
Её члены имеют вид $$a_n=x_n+1=x_1q^{\,n-1}+1$$.
Тогда
$$ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{x_1q^{\,n-1}+1}{x_1q^{\,n-2}+1}. $$
Это отношение зависит от $$n$$, значит, последовательность не является геометрической прогрессией.
Рассмотрим последовательность $$3x_1,\; 3x_2,\; \ldots,\; 3x_n,\; \ldots$$
Её члены имеют вид $$a_n=3x_n$$.
Тогда
$$ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{3x_n}{3x_{n-1}}=\frac{x_n}{x_{n-1}}=q. $$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
Рассмотрим последовательность $$x_1^2,\; x_2^2,\; \ldots,\; x_n^2,\; \ldots$$
Её члены имеют вид $$a_n=x_n^2$$.
Тогда
$$ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{x_n^2}{x_{n-1}^2}=\left(\frac{x_n}{x_{n-1}}\right)^2=q^2. $$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
Рассмотрим последовательность $$\frac{1}{x_1},\; \frac{1}{x_2},\; \ldots,\; \frac{1}{x_n},\; \ldots$$
Её члены имеют вид $$a_n=\frac{1}{x_n}$$.
Тогда
$$ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{1/x_n}{1/x_{n-1}}=\frac{x_{n-1}}{x_n}=\frac{1}{q}. $$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.