Упр.70 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1) Обозначьте длину одного из катетов через х см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.
2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.
3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда второй катет равен $$6-x$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac12 x(6-x)=3x-\frac12 x^2.$$

Приведём выражение к виду полного квадрата:

$$ S=3x-\frac12 x^2 =-\frac12(x^2-6x) =-\frac12\bigl((x-3)^2-9\bigr) =-\frac12(x-3)^2+4{,}5. $$

Так как $$-\frac12(x-3)^2\le 0$$, наибольшее значение площади достигается при

$$x-3=0,\quad x=3.$$

Тогда второй катет тоже равен $$6-3=3$$ см.

Следовательно, наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $$3$$ см и $$3$$ см.

Найдём площадь:

$$S=\frac12\cdot 3\cdot 3=4{,}5\ \text{см}^2.$$

Ответ

Катеты $$3$$ см и $$3$$ см; наибольшая площадь равна $$4{,}5\ \text{см}^2$$.