Упр.696 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 696 Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Для первых десяти членов:

$$S_{10}=\frac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=100,$$

откуда

$$5(2a_1+9d)=100,$$

$$2a_1+9d=20.$$

Для первых тридцати членов:

$$S_{30}=\frac{2a_1+29d}{2}\cdot 30=900,$$

откуда

$$15(2a_1+29d)=900,$$

$$2a_1+29d=60.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 2a_1+9d=20,\\ 2a_1+29d=60. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$20d=40,$$

$$d=2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+9\cdot 2=20,$$

$$2a_1=2,$$

$$a_1=1.$$

Теперь найдём сумму первых сорока членов:

$$S_{40}=\frac{2a_1+39d}{2}\cdot 40.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{40}=\frac{2\cdot 1+39\cdot 2}{2}\cdot 40=\frac{80}{2}\cdot 40=40\cdot 40=1600.$$

Ответ

$$1600$$