Упр.693 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

2; 5; 8; …
с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность (xn). Напишите формулу n-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Сначала найдём общий член исходной арифметической прогрессии:

$$a_1=2,\quad d=5-2=3,$$

$$a_n=a_1+d(n-1)=2+3(n-1)=3n-1.$$

По условию чётные члены заменили противоположными, значит

$$x_n=(-1)^{n+1}(3n-1).$$

Найдём сумму первых пятидесяти членов. Разобьём последовательность на нечётные и чётные номера.

Для нечётных номеров:

$$x_{2k-1}=3(2k-1)-1=6k-4,$$

это арифметическая прогрессия с первым членом $$2$$ и разностью $$6.$$ Тогда

$$S_{25}^{(\text{неч})}=\frac{2\cdot 2+6\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=1850.$$

Для чётных номеров:

$$x_{2k}=-(3\cdot 2k-1)=-(6k-1),$$

это арифметическая прогрессия с первым членом $$-5$$ и разностью $$-6.$$ Тогда

$$S_{25}^{(\text{чёт})}=\frac{2\cdot(-5)+(-6)\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=-1925.$$

Следовательно,

$$S_{50}=S_{25}^{(\text{неч})}+S_{25}^{(\text{чёт})}=1850-1925=-75.$$

Ответ

$$x_n=(-1)^{n+1}(3n-1),\quad S_{50}=-75.$$