Упр.692 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел $$1,2,3,\dots$$. Тогда искомое число — это $$x_{n+1}$$, а сумма предшествующих ему чисел равна $$S_n$$.

Для арифметической прогрессии $$a_1=1$$, $$d=1$$ имеем:

$$x_n=a_1+d(n-1)=1+n-1=n,$$
$$S_n=\frac{x_1+x_n}{2}\cdot n=\frac{1+n}{2}\cdot n.$$

а) По условию:

$$x_{n+1}=5S_n.$$

Подставим формулы:

$$n+1=5\cdot \frac{1+n}{2}\cdot n,$$
$$2(n+1)=5n(1+n),$$
$$2n+2=5n^2+5n,$$
$$5n^2+3n-2=0.$$

Решаем уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 5\cdot(-2)=9+40=49,$$
$$n=\frac{-3\pm 7}{10}.$$

Подходит натуральное значение $$n=1$$. Тогда

$$x_{n+1}=x_2=2.$$

б) По условию:

$$x_{n+1}=S_n.$$

Подставим формулы:

$$n+1=\frac{1+n}{2}\cdot n,$$
$$2(n+1)=n(1+n),$$
$$2n+2=n^2+n,$$
$$n^2-n-2=0.$$

Решаем уравнение:

$$ (n-2)(n+1)=0,$$
$$n=2.$$

Тогда

$$x_{n+1}=x_3=3.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$3$$.