Упр.687 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) d = -0,4, n = 12, аn = 2,4; найдите а1 и Sn;
б) а1 = -35, d = 5, Sn = 250; найдите n и аn;
в) d = 1/2, аn = 50, Sn= 2525; найдите а1 и n;
г) a1 = -1/2, аn = -29*1/2, Sn = -450; найдите d и n.

Подробный ответ

а) $$d=-0{,}4,\ n=12,\ a_{12}=2{,}4.$$
Используем формулу $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда
$$a_{12}=a_1+11d,$$
$$2{,}4=a_1+11\cdot(-0{,}4),$$
$$a_1=2{,}4+4{,}4=6{,}8.$$
Теперь найдём сумму:
$$S_{12}=\frac{a_1+a_{12}}{2}\cdot 12=\frac{6{,}8+2{,}4}{2}\cdot 12=55{,}2.$$
б) $$a_1=-35,\ d=5,\ S_n=250.$$
По формуле суммы:
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
Подставим данные:
$$\frac{2\cdot(-35)+5(n-1)}{2}\cdot n=250,$$
$$\frac{-70+5n-5}{2}\cdot n=250,$$
$$n(-75+5n)=500,$$
$$5n^2-75n-500=0,$$
$$n^2-15n-100=0.$$
$$D=(-15)^2-4\cdot 1\cdot(-100)=625,$$
$$n=\frac{15\pm 25}{2}.$$
Получаем $$n_1=20,$$ $$n_2=-5.$$ Так как $$n>0,$$ берём $$n=20.$$
Найдём последний член:
$$a_{20}=a_1+19d=-35+19\cdot 5=60.$$
в) $$d=\frac12,\ a_n=50,\ S_n=2525.$$
Из формулы $$a_n=a_1+d(n-1)$$ получаем:
$$50=a_1+\frac12(n-1),$$
$$a_1=50{,}5-0{,}5n.$$
Подставим в формулу суммы:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$
$$\frac{a_1+50}{2}\cdot n=2525,$$
$$\frac{50{,}5-0{,}5n+50}{2}\cdot n=2525,$$
$$n(100{,}5-0{,}5n)=5050,$$
$$0{,}5n^2-100{,}5n+5050=0,$$
$$n^2-201n+10100=0.$$
$$D=201^2-4\cdot 10100=1,$$
$$n=\frac{201\pm 1}{2}.$$
Получаем $$n_1=100,$$ $$n_2=101.$$
Если $$n=100,$$ то $$a_1=50{,}5-0{,}5\cdot 100=0{,}5.$$
Если $$n=101,$$ то $$a_1=50{,}5-0{,}5\cdot 101=0.$$
г) $$a_1=-\frac12,\ a_n=-29\frac12,\ S_n=-450.$$
По формуле суммы:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$
$$\frac{-\frac12-29\frac12}{2}\cdot n=-450,$$
$$-\frac{30}{2}\cdot n=-450,$$
$$-15n=-450,$$
$$n=30.$$
Теперь найдём разность:
$$a_n=a_1+d(n-1),$$
$$-29\frac12=-\frac12+d\cdot 29,$$
$$29d=-29,$$
$$d=-1.$$