Упр.686 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 686. На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.

Подробный ответ

Обозначим длины параллельных отрезков через $$a_1, a_2, \ldots, a_{12}.$$

Так как все эти отрезки параллельны, то соответствующие треугольники подобны, а значит, длины отрезков пропорциональны расстояниям от вершины угла. Поэтому последовательность $$a_1, a_2, \ldots, a_{12}$$ является арифметической прогрессией.

По условию наименьший отрезок равен $$3$$ см, значит

$$a_1=3.$$

Так как отрезки получены при делении одной стороны угла на 12 равных частей, разность прогрессии равна

$$d=3.$$

Тогда сумма всех 12 отрезков:

$$ S_{12}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$

Подставим значения:

$$ S_{12}=\frac{2\cdot 3+3\cdot(12-1)}{2}\cdot 12 =\frac{6+33}{2}\cdot 12 =39\cdot 6 =234. $$