Упр.674 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 674. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 674 95

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,$$

где $$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d.$$

По условию периметр равен $$24$$ см, значит

$$a_1+a_2+a_3=24.$$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=24$$

$$3a_1+3d=24$$

$$a_1+d=8.$$

Но $$a_1+d=a_2$$, значит средняя сторона равна

$$a_2=8.$$

Тогда

$$a_1+a_3=24-8=16,$$

то есть

$$a_3=16-a_1.$$

Чтобы три числа были сторонами треугольника, должно выполняться неравенство

$$a_1+a_2>a_3.$$

Подставим $$a_2=8$$ и $$a_3=16-a_1$$:

$$a_1+8>16-a_1$$

$$2a_1>8$$

$$a_1>4.$$

Кроме того, стороны должны быть положительными, а также

$$a_1\le a_2=8\le a_3,$$

поэтому возможны целые значения

$$a_1=5,6,7,8.$$

Тогда соответствующие стороны треугольника:

$$5,\ 8,\ 11;\quad 6,\ 8,\ 10;\quad 7,\ 8,\ 9;\quad 8,\ 8,\ 8.$$

Значит, длину одной стороны определить однозначно нельзя.

Ответ

Нет, однозначно определить длину стороны нельзя. Целые значения сторон: $$5,\ 8,\ 11$$; $$6,\ 8,\ 10$$; $$7,\ 8,\ 9$$; $$8,\ 8,\ 8$$.