Упр.67 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

x2 — 6x + 11 и -х2 + 6x — 11.
Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

Преобразуем первый квадратный трёхчлен, выделив полный квадрат:

$$x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2.$$

Так как $$\,(x-3)^2 \ge 0\,$$, то

$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2 \ge 2>0.$$

Значит, первый трёхчлен не принимает отрицательных значений.

Теперь рассмотрим второй трёхчлен:

$$-x^2+6x-11=-(x^2-6x+11)= -\bigl((x-3)^2+2\bigr)=-(x-3)^2-2.$$

Так как $$\,(x-3)^2 \ge 0\,$$, то

$$-x^2+6x-11=-(x-3)^2-2 \le -2<0.$$

Следовательно, второй трёхчлен не принимает положительных значений.

Ответ

$$x^2-6x+11 \ge 2>0,\qquad -x^2+6x-11 \le -2<0.$$