Упр.669 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) u1 + u3 + u5 + … + u2n-1 = u2n;
б) u 2/1 + u 2/2 + u2/3 + … + u 2/n = un * un+1.

Докажем оба равенства методом математической индукции.

а) Докажем, что

$$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}.$$

База индукции: при $$n=1$$ имеем

$$u_1=1=u_2,$$

то есть равенство верно.

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2k-1}=u_{2k}.$$

Тогда для $$n=k+1$$ получаем

$$ u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2k-1}+u_{2k+1} = u_{2k}+u_{2k+1} = u_{2k+2} = u_{2(k+1)}. $$

Следовательно, равенство верно для всех $$n$$.

б) Докажем, что

$$u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_nu_{n+1}.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$u_1^2=1=u_1u_2,$$

то есть равенство верно.

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_k^2=u_ku_{k+1}.$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$ u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_k^2+u_{k+1}^2 = u_ku_{k+1}+u_{k+1}^2 = u_{k+1}(u_k+u_{k+1}) = u_{k+1}u_{k+2} = u_{k+1}u_{(k+1)+1}. $$

Следовательно, равенство верно для всех $$n$$.

Ответ

$$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}, \qquad u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_nu_{n+1}.$$