Упр.668 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 668 Докажите, что разность 49n — 1 кратна 48 при любом натуральном n. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 668 95

Подробный ответ

Докажем по индукции, что число $$49^n-1$$ кратно $$48$$ при любом натуральном $$n$$.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$49^1-1=49-1=48,$$

значит, выражение кратно $$48$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что при $$n=k$$ число $$49^k-1$$ кратно $$48$$, то есть

$$49^k-1=48m$$

для некоторого целого $$m$$.

Докажем, что тогда и при $$n=k+1$$ выражение кратно $$48$$:

$$ 49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1=49(49^k-1)+48. $$

Так как по предположению индукции $$49^k-1$$ кратно $$48$$, то и $$49(49^k-1)$$ кратно $$48$$. Кроме того, $$48$$ тоже кратно $$48$$. Следовательно, сумма

$$49(49^k-1)+48$$

кратна $$48$$.

Значит, $$49^{k+1}-1$$ кратно $$48$$.

По принципу математической индукции $$49^n-1$$ кратно $$48$$ при любом натуральном $$n$$.