Упр.667 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 667 Докажите, что последовательность (аn), в которой a1=-5, ak + 1 = ak + 10k + 5, можно задать формулой аn = 5n2-10. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 667 95

Докажем по индукции, что для данной последовательности выполняется формула

$$a_n=5n^2-10.$$

1) Проверим при $$n=1$$:

$$a_1=5\cdot 1^2-10=5-10=-5.$$

Начальное значение совпадает.

2) Предположим, что для некоторого $$k$$ верно:

$$a_k=5k^2-10.$$

Тогда по условию

$$a_{k+1}=a_k+10k+5.$$

Подставим предположение индукции:

$$ a_{k+1}=5k^2-10+10k+5=5k^2+10k-5. $$

С другой стороны,

$$ 5(k+1)^2-10=5(k^2+2k+1)-10=5k^2+10k+5-10=5k^2+10k-5. $$

Значит,

$$a_{k+1}=5(k+1)^2-10.$$

Следовательно, формула $$a_n=5n^2-10$$ верна для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$a_n=5n^2-10.$$