Упр.666 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 666 Пусть (bn) — последовательность, в которой b1 = -3, bk + 1 = bk + 6k + 3. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bn = 3n2 — 6. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 666 95

Подробный ответ

Докажем формулу для последовательности $$b_n=3n^2-6$$ методом математической индукции.

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$b_1=3\cdot 1^2-6=-3.$$

Это совпадает с условием.

2. Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$k$$ верно:

$$b_k=3k^2-6.$$

Тогда по условию

$$ b_{k+1}=b_k+6k+3. $$

Подставим предположение индукции:

$$ b_{k+1}=3k^2-6+6k+3=3k^2+6k-3. $$

Преобразуем:

$$ 3k^2+6k-3=3(k^2+2k+1)-6=3(k+1)^2-6. $$

Значит,

$$b_{k+1}=3(k+1)^2-6.$$

Следовательно, если формула верна для $$n=k$$, то она верна и для $$n=k+1$$. По принципу математической индукции формула $$b_n=3n^2-6$$ верна для всех натуральных $$n$$.