Упр.664 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + …+1.(n(n+1))
может быть вычислена по формуле Sn=n/(n+1).

Докажем формулу по индукции.

При $$n=1$$ имеем:

$$\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}.$$

Формула верна.

Предположим, что для $$n=k$$ она верна:

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}.$$

Докажем, что тогда она верна и для $$n=k+1$$:

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} $$

$$ =\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} =\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} $$

$$ =\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} =\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{k+2}. $$

Значит, формула верна для $$n=k+1$$. Следовательно, она верна при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}.$$