Упр.663 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1*2+2*3+3*4+..+n(n+1) =1n/3(n+1)(n+2).

Докажем равенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1\cdot 2=2,$$

а правая часть равна

$$\frac13\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (1+2)=\frac13\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2.$$

Значит, формула верна при $$n=1$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+k(k+1)=\frac13k(k+1)(k+2).$$

Докажем, что тогда формула верна и для $$n=k+1$$:

$$ 1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2) $$

$$ =\frac13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) $$

$$ =(k+1)(k+2)\left(\frac13k+1\right) $$

$$ =\frac13(k+1)(k+2)(k+3). $$

Это и есть правая часть формулы при $$n=k+1$$:

$$\frac13(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)\bigl((k+1)+2\bigr).$$

Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\frac13n(n+1)(n+2).$$