Упр.662 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1^3+2^3+3^3+..+n3=(n2(n+1)2)/4.
Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.

Проверим формулу $$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ при малых значениях $$n$$.

При $$n=1$$:

$$1^3=1,\qquad \frac{1^2\cdot 2^2}{4}=1.$$

При $$n=2$$:

$$1^3+2^3=1+8=9,\qquad \frac{2^2\cdot 3^2}{4}=9.$$

При $$n=3$$:

$$1^3+2^3+3^3=1+8+27=36,\qquad \frac{3^2\cdot 4^2}{4}=36.$$

Формула верна для $$n=1,2,3$$.

Докажем её методом математической индукции.

1. База индукции. При $$n=1$$ равенство верно.

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3 =\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} $$

$$ =\frac{(k+1)^2\bigl(k^2+4k+4\bigr)}{4} =\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}. $$

А это и есть

$$\frac{(k+1)^2\bigl((k+1)+1\bigr)^2}{4}.$$

Следовательно, формула верна и для $$n=k+1$$.

Значит, по принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ для любого натурального $$n$$.