Упр.66 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) х^2 — 6х + 10 принимает положительное значение;
б) 5х^2 — 10х + 5 принимает неотрицательное значение;
в) -х^2 + 20х — 100 принимает неположительное значение;
г) -2х^2 + 16х — 33 принимает отрицательное значение;
д) х^2 — 0,32х + 0,0256 принимает неотрицательное значение;
е) 4х^2 + 0,8х + 2 принимает положительное значение.
1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений
2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

Подробный ответ

Во всех пунктах удобно выделить полный квадрат.

а)

$$ x^2-6x+10=(x^2-6x+9)+1=(x-3)^2+1. $$
Так как $$ (x-3)^2 \ge 0 $$ при любом $$x$$, то
$$ (x-3)^2+1>0. $$
Следовательно, $$x^2-6x+10$$ всегда положительно.

б)

$$ 5x^2-10x+5=5(x^2-2x+1)=5(x-1)^2. $$
Так как $$ (x-1)^2 \ge 0 $$, то
$$ 5(x-1)^2 \ge 0. $$
Значит, выражение всегда неотрицательно.

в)

$$ -x^2+20x-100=-(x^2-20x+100)=-(x-10)^2. $$
Так как $$ (x-10)^2 \ge 0 $$, то
$$ -(x-10)^2 \le 0. $$
Следовательно, выражение всегда неположительно.

г)

$$ -2x^2+16x-33=-2(x^2-8x)-33 $$
$$ =-2\bigl((x^2-8x+16)-16\bigr)-33 $$
$$ =-2(x-4)^2+32-33=-2(x-4)^2-1. $$
Так как $$ (x-4)^2 \ge 0 $$, то
$$ -2(x-4)^2-1<0. $$ Значит, выражение всегда отрицательно.

д)

$$ x^2-0{,}32x+0{,}0256=(x-0{,}16)^2. $$
Следовательно,
$$ (x-0{,}16)^2 \ge 0. $$
Значит, выражение всегда неотрицательно.

е)

$$ 4x^2+0{,}8x+2=4\left(x^2+0{,}2x+0{,}5\right) $$
$$ =4\left((x+0{,}1)^2+0{,}49\right) $$
$$ =4(x+0{,}1)^2+1{,}96. $$
Так как $$ (x+0{,}1)^2 \ge 0 $$, то
$$ 4(x+0{,}1)^2+1{,}96>0. $$
Следовательно, выражение всегда положительно.