Упр.657 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 657 В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 657 95

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q>0$$ — её знаменатель.

По условию:

$$ b_1+b_2=8,\qquad b_3+b_4=72. $$

Так как $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2,\; b_4=b_1q^3,$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} b_1+b_1q=8,\\ b_1q^2+b_1q^3=72. \end{cases} $$

Вынесем общий множитель:

$$ \begin{cases} b_1(1+q)=8,\\ b_1q^2(1+q)=72. \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на первое:

$$ q^2=\frac{72}{8}=9. $$

Так как $$q>0,$$ то $$q=3.$$ Тогда

$$ b_1=\frac{8}{1+3}=2. $$

Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$ S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}. $$

Подставим найденные значения:

$$ \frac{2(3^n-1)}{3-1}=242, $$

$$ 3^n-1=242, $$

$$ 3^n=243=3^5. $$

Следовательно, $$n=5.$$

Ответ

5